本文是对《概率导论（第2版·修订版）》1 中德·摩根定律 的证明过程的记录与补充完整。

证明与补充

  • 德·摩根定律: \[ \begin{equation}\label{eq1}\tag{1} (\bigcup_nS_n)^c=\bigcap_nS_n^c \end{equation} \]

    \[ \begin{equation}\label{eq2}\tag{2} (\bigcup_nS_n)^c=\bigcap_nS_n^c \end{equation} \]

  • 证明 \(\eqref{eq1}\)：

    1. 设 \(x\in(\bigcup_nS_n)^c\)

    2. 这说明 \(x\notin \bigcup_nS_n\)

    3. 即对一切\(n\) , \(x\notin S_n\)

    4. 因而，对每一个 \(n\) ， \(x\) 属于 \(S_n\)的补集，即 \(x\in \bigcap_nS^c_n\)

      可以得到 \((\bigcup_nS_n)^c\subset \bigcap_nS_n^c\)

      将上述1,2,3,4证明从后往前：

    5. 设 \(x\in \bigcap_nS^c_n\)

    6. 对每一个 \(n\) ， \(x\) 属于 \(S_n\)的补集

    7. 即对一切\(n\) , \(x\notin S_n\)

    8. 这说明 \(x\notin \bigcup_nS_n\)，即 \(x\in(\bigcup_nS_n)^c\)

      可以得到 \((\bigcup_nS_n)^c\supset \bigcap_nS_n^c\)

    9. 因此 \((\bigcup_nS_n)^c=\bigcap_nS_n^c\) 得证

  • 证明 \(\eqref{eq2}\)：

    1. 设 \(x\in(\bigcap_nS_n)^c\)

    2. 这说明 \(x\notin \bigcap_nS_n\)

    3. 必然存在某个\(n^*\)，使 \(x \in S_{n^*}^c\)

      • 反证法。如果不存在这样的\(n^*\)使 \(x \in S_{n^*}^c\)，则对一切 \(n\) 有 \(x \notin S_n^c\)。则对一切\(n\) 有 \(x\in S_n\)。则 \(x\in \bigcap_nS_n\)。与第2点矛盾。

    4. 因此，自然有 \(x\in \bigcup_nS_n^c\)

      可以得到 \((\bigcap_nS_n)^c\subset \bigcup_nS_n^c\)

      将上述1,2,3,4证明从后往前：

    5. 设 \(x\in\bigcup_nS_n^c\)

    6. 这说明，存在某个\(n^*\)，使得 \(x \in S_{n^*}^c\)

    7. 因此 \(x\notin S_{n^*}\)

    8. 从而有 \(x\notin \bigcap_nS_n\)，即 \(x\in(\bigcap_nS_n)^c\)

      • 不属于集合组中的某个集合，自然不会属于该集合组的交集，无需多言

      可以得到 \((\bigcap_nS_n)^c\supset \bigcup_nS_n^c\)

    9. 因此 \((\bigcap_nS_n)^c=\bigcup_nS_n^c\) 得证

Reference

  1. Dimitri P. Bertsekas, John N. Tsitsiklis著 ; 郑忠国, 童行伟译., 槪率导论 = Introduction to probability. Beijing: 人民邮电出版社, 2016. ↩︎